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母函数方法解题技巧

来源:www.xjyouta.com 时间:2024-07-10 21:22:27 作者:空前技巧网 浏览: [手机版]

  母函数是组合数学中的一种重要工,它可以将一个序列转化为一个函数,从使得序列的种性质可以通过函数的性质来研究www.xjyouta.com。母函数方法在组合数学、概率论、统计学等领域中都有广泛的用。本文将介绍母函数的基本概和常见的解题技巧

母函数方法解题技巧(1)

一、母函数的基本概

  1.1 普通生成函数

设 $a_n$ 是一个数列,$f(x)$ 是一个形如 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_nx^n$ 的函数,称 $f(x)$ 是数列 $\{a_n\}$ 的普通生成函数。

  例如,数列 $a_n = 1,2,3,\cdots$ 的普通生成函数为 $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$来自www.xjyouta.com

  1.2 数生成函数

  设 $a_n$ 是一个数列,$f(x)$ 是一个形如 $\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!}x^n$ 的函数,称 $f(x)$ 是数列 $\{a_n\}$ 的数生成函数。

例如,数列 $a_n = 1,1,\frac{1}{2!},\frac{1}{3!},\cdots$ 的数生成函数为 $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = e^x$。

  1.3 拉普拉斯变换

  设 $a_n$ 是一个数列,$f(x)$ 是一个形如 $\sum\limits_{n=0}^\infty a_ne^{-nx}$ 的函数,称 $f(x)$ 是数列 $\{a_n\}$ 的拉普拉斯变换。

  例如,数列 $a_n = 1,2,3,\cdots$ 的拉普拉斯变换为 $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty ne^{-nx} = \frac{e^x}{(e^x-1)^2}$www.xjyouta.com空前技巧网

二、母函数的常见解题技巧

  2.1 求和

  设 $a_n$ 是一个数列,$f(x)$ 是它的普通生成函数,则 $a_n$ 的和为 $[x^n]f(x)$。

例如,数列 $a_n = 1,2,3,\cdots$ 的和为 $[x^0]f(x) = 1$。

2.2 递推关系

设 $a_n$ 是一个数列,$f(x)$ 是它的普通生成函数,则 $a_n$ 满足递推关系 $a_n = c_1a_{n-1} + c_2a_{n-2} + \cdots + c_ka_{n-k}$ 的普通生成函数为 $f(x) = \frac{a_0 + a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_{k-1}x^{k-1}}{1-c_1x-c_2x^2-\cdots-c_kx^k}$。

例如,数列 $a_n$ 满足递推关系 $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$,且 $a_0 = 1,a_1=1$,则 $a_n$ 的普通生成函数为 $f(x) = \frac{1}{1-x-2x^2}$来自www.xjyouta.com

2.3 乘法原理

  设 $a_n$ 是一个数列,$f(x)$ 是它的普通生成函数,$b_n$ 是另一个数列,$g(x)$ 是它的普通生成函数,则 $a_n b_n$ 的普通生成函数为 $f(x)g(x)$。

  例如,数列 $a_n = 1,2,3,\cdots$ 的普通生成函数为 $f(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty nx^n$,数列 $b_n = 1,1,1,\cdots$ 的普通生成函数为 $g(x) = \sum\limits_{n=0}^\infty x^n$,则数列 $a_nb_n = 1,2,3,\cdots$ 的普通生成函数为 $f(x)g(x) = \frac{x}{(1-x)^2}$。

  2.4 数生成函数的

  设 $a_n$ 是一个数列,$f(x)$ 是它的数生成函数,则 $a_n$ 的为 $n![x^n]f(x)$。

例如,数列 $a_n = 1,1,\frac{1}{2!},\frac{1}{3!},\cdots$ 的数生成函数为 $f(x) = e^x$,则 $a_3 = \frac{1}{3!}[x^3]e^x = \frac{1}{6}$xjyouta.com

2.5 拉普拉斯变换的

设 $a_n$ 是一个数列,$f(x)$ 是它的拉普拉斯变换,则 $a_n$ 的为 $\frac{1}{n}[x^n]f(x)$。

  例如,数列 $a_n = 1,2,3,\cdots$ 的拉普拉斯变换为 $f(x) = \frac{e^x}{(e^x-1)^2}$,则 $a_3 = \frac{1}{3}[x^3]f(x) = \frac{1}{4}$。

母函数方法解题技巧(2)

三、

  母函数方法是组合数学中的一种重要工,它可以将一个序列转化为一个函数,从使得序列的种性质可以通过函数的性质来研究。本文介绍了母函数的基本概和常见的解题技巧,包括求和、递推关系、乘法原理、数生成函数和拉普拉斯变换的来源www.xjyouta.com。希望本文可以帮助读更好掌握母函数方法,解决种组合数学问题。

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