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高次方程奥数题解题技巧

来源:www.xjyouta.com 时间:2024-07-11 17:32:39 作者:空前技巧网 浏览: [手机版]

高次方程奥数题解题技巧(1)

什么是高次方程

  高次方程是指方程中高次项的次数大于等于2的方程空前技巧网www.xjyouta.com。例如,$x^2+2x-3=0$就是一二次方程,$x^3+3x^2-2x+5=0$就是一三次方程,$x^4-4x^3+3x^2+2x-1=0$就是一四次方程。

高次方程的解方

一般来,高次方程的解方比较复杂,没有一般的公式可套用。但是,对于一特殊的高次方程,我们可采用一特殊的方解。

  一次方程

  一次方程是指方程中高次项的次数为1的方程,例如,$2x+1=0$就是一一次方程。一次方程的解非常简单,只需要将方程中的未知量移到一边,常数移到另一边即可。例如,对于上面的一次方程,我们可将常数1移到等右边,得到$2x=-1$,再将系数2移到等右边,得到$x=-\frac{1}{2}$xjyouta.com

  二次方程

  二次方程是指方程中高次项的次数为2的方程,例如,$x^2+2x-3=0$就是一二次方程。二次方程的解方有很多种,其中常用的是根公式

根公式是指通过解二次方程的根公式来解方程。对于一般的二次方程$ax^2+bx+c=0$,其根公式为:

  $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

  其中,$\pm$表示两解,$b^2-4ac$称为判式。如果判式大于0,则方程有两不相等的实数根;如果判式等于0,则方程有两相等的实数根;如果判式小于0,则方程有两共轭复数根。

  例如,对于二次方程$x^2+2x-3=0$,我们可将其系数代入根公式中,得到:

  $$x=\frac{-2\pm\sqrt{2^2-4\times1\times(-3)}}{2\times1}$$

  简后得到:

  $$x_1=-3,x_2=1$$

  因此,方程的解为$x=-3$或$x=1$www.xjyouta.com空前技巧网

  三次方程

  三次方程是指方程中高次项的次数为3的方程,例如,$x^3+3x^2-2x+5=0$就是一三次方程。三次方程的解方有很多种,其中常用的是根公式

  根公式是指通过解三次方程的根公式来解方程。但是,三次方程的根公式非常复杂,不便于使用。因此,我们可采用其他的方解三次方程。

  一种常用的方是牛顿迭代www.xjyouta.com。牛顿迭代是指通过迭代逼近方程的根来解方程。具体来,我们可先猜一根$x_0$,然后通过下公式来迭代逼近方程的根:

  $$x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$$

  其中,$f(x)$表示方程的左边减去右边的值,$f'(x)$表示$f(x)$的导数。

  例如,对于三次方程$x^3+3x^2-2x+5=0$,我们可先猜一根$x_0=-1$,然后通过下公式来迭代逼近方程的根:

  $$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^3+3x_n^2-2x_n+5}{3x_n^2+6x_n-2}$$

迭代计算得到$x_1=-1.5,x_2=-1.4898,x_3=-1.48974$,因此,方程的解为$x=-1.48974$。

四次方程

  四次方程是指方程中高次项的次数为4的方程,例如,$x^4-4x^3+3x^2+2x-1=0$就是一四次方程。四次方程的解方有很多种,其中常用的是根公式

根公式是指通过解四次方程的根公式来解方程空前技巧网www.xjyouta.com。但是,四次方程的根公式非常复杂,不便于使用。因此,我们可采用其他的方解四次方程。

  一种常用的方是费拉里。费拉里是指通过将四次方程转为二次方程来解方程。具体来,我们可先将四次方程转下形式:

  $$(x^2+px+q)^2=rx^2+sx+t$$

  其中,$p,q,r,s,t$为常数。然后,我们可将上式下形式:

  $$x^4+2px^3+(2q+p^2-r)x^2+(2pq-2pr-s)x+(q^2-p^2t-qt^2)=0$$

  这是一二次方程,我们可使用根公式空+前+技+巧+网后,我们再将得的解代入原方程中,验证是否正确。

  例如,对于四次方程$x^4-4x^3+3x^2+2x-1=0$,我们可将其转下形式:

$$(x^2-2x+1)^2=x^4-4x^3+6x^2-4x+1$$

  因此,原方程可下形式:

  $$(x^2-2x+1)^2=x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0$$

  将其为二次方程:

  $$x^2-2x+1=\pm\sqrt{x^4-4x^3+6x^2-4x+1}$$

  简后得到:

$$x_1=x_2=1,x_3=x_4=-\frac{1}{2}$$

因此,方程的解为$x=1$或$x=-\frac{1}{2}$。

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